Kinetik - Geschwindigkeitsgesetz (Herleitung der Formeln)

KINETIK	I. Geschwindigkeitsgesetz	II. Arrheniusgleichung
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Startpunkt ist die differentielle Geschwindigkeitsgleichung. Diese ist Ergebnis von Versuchen: Es wurde gefunden, dass für eine Reihe chemischer Reaktionen die Geschwindigkeit proportional zur Konzentration des Ausgangsstoffs ist.

In der Differentialrechnung ist die Geschwindigkeit als Differentialquotient definiert.
k wird eingeführt, um aus der Proportionalität eine Gleichung zu erzeugen.
k enthält die Charakteristik der speziellen Reaktion und die Temperatur.
Das Minus-Vorzeichen wird eingeführt, weil c die Konzentration eines Ausgangsstoffs ist,
und dessen Konzentration nimmt mit fortlaufender Reaktionszeit ab.

Um diese "Differentialgleichung" zu lösen, benutzt man das Verfahren der "Separation der Variablen".

Wir bringen alle Teile mit der Variable c auf die linke Seite.

Nun ist auf beiden Seiten eine Integration möglich. Entweder wird zuerst unbestimmt integriert und die Integrationskonstanten werden dann über die Anfangs- und Randbedingung festgelegt. Einfacher ist auf beiden Seiten in zueinander passenden ("korrespondierenden") Grenzen bestimmt zu integrieren. Am Beginn der Reaktion haben wir die Zeit t = 0 und die Anfangskonzentration c(0). Zu einem späteren Zeitpunkt t haben wir die dann noch vorhandene Konzentration c(t).
{Lassen Sie sich nicht verwirren! Es ist in solchen Herleitungen zur chemischen Kinetik üblich, für die Integrationsvariable (in dt) und die Reaktionszeit (t in den Integrationsgrenzen) denselben Buchstaben zu benutzen.}

Beide Seiten werden integriert.
Die Lösung der Integrationen ist:		ausgewertet:

Durch Vergleich mit der allgemeinen Geradengleichung (Steigungsform) "y = mx + b" sehen wir, bei einer Auftragung ln(c) als y und t als x:

Eine Gerade mit der Steigung - k und dem Achsenabschnitt ln( c(0) ).

Die Lösung mit Logarithmen kann mit der Identität
"ln( a / b) = ln(a) - ln(b)" umgeformt werden.

Entlogarithmiert folgt:

Für die Halbwertszeit benutzen wir die Definition: Nach einem Zeitintervall t_1/2 liegt noch die halbe Konzentration einer Anfangskonzentration c(0) vor, also c(t_1/2) = c(0) / 2. Das Ergebnis der Rechnung bestätigt dann die Behauptung, dass t_1/2 nicht von der Anfangskonzentration abhängt; d.h. der Zeitnullpunkt kann beliebig gewählt werden.
{Bei Reaktionen anderer als der 1. Ordnung gilt das nicht mehr! Dann hängt t_1/2 von c ab!}

In der logarithmierten Form setzen wir
diese Bedingung ein:

Mit der Identität
"ln(1/2) = - ln(2)" folgt:

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