Dipolmoment - Vektorsumme bei trigonaler Geometrie

DIPOLMOMENT

trigonal eben

Rechnerische Lösung zu "trigonal eben":
Die drei Bindungsmomente sind gleich lang; wir schreiben dafür a.

Erste Herleitung unter Verwendung von Formeln der Planimetrie:

Die Skizze für die drei Pfeile zeigt, dass die Summe 12 = 1 + 2 entgegen gesetzt zu 3 gerichtet sein muss. Zu berechnen ist also nur die Länge von 12. Dazu skizzieren wir einen Rhombus für die 2 Richtungen 1 und 2. {Für die Länge verwenden wir jeweils a.}

Für die Diagonale d eines Rhombus mit der Seitenlänge a und dem spitzen Winkel α (hier 60°) gilt d = 2a * sin ( α/ 2 ); d = 2a * sin ( 30° ) = 2a * (1/2) = a
12 hat also dieselbe Länge wie 3. Wegen der entgegengesetzten Richtung ist die "geometrische Summe" 12 + 3 = 0.

Alternativ kann die Vektorrechnung benutzt werden:

Wir haben für die 3 Pfeile (als Vektoren mit Betrag a und der Richtung gemäß der Skizze) die Koordinatendarstellungen: 1 = { -a cos(30°) ; -a sin(30° ) } 2 = { a cos(30°) ; -a sin(30° ) } 3 = { 0 ; a }.
Die Summe der x-Koordinaten ist sofort erkennbar: 0. Mit sin(30°) = (1/2) ist die Summe der y-Koordinaten ebenfalls 0.
Die Summe der drei Vektoren 1 + 2 + 3 = { 0 ; 0 } = 0. Das Gesamtdipolmoment ist 0.